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已知三角形三边求面积的公式——海伦公式

100次浏览     发布时间：2023-04-30 08:08:03    

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导（注意：公式推导过程的方法比公式更为重要）

题：已知△ABC的三边为a，b，c，求△的面积S。

分析：以a为底边，欲求△ABC的面积，只需要求得BC上高。

解：不妨设BC为最大边，作△ABC的高AD（如图）。设BD=x，则DC=a-x。

由勾股定理，得

AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2,

所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2,

整理，得

2ax=a^2+c^2-b^2,

所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a，

所以AD^2= c^2-x^2

= c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2，

=1/(4a^2)•[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2]

=1/(4a^2)•(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2)

=1/(4a^2)•[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]

=1/(4a^2)•(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

=1/(4a^2)•(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)，

所以AD=1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

所以S=1/2•a•1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]

=1/4•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

令(a+b+c)/2=p（这里的p称为三角形半周长），则

a+b+c=2p，

b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a)，

c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b)，

a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c)，

所以S=1/4•√[2p•2(p-a)•2(p-b)•2(p-c)]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].

这就是海伦公式，在我国又称为秦九韶海伦公式。公式虽然有点复杂，但和谐好记。

这个公式在实际问题中得到广泛的运用，深受民间百姓的喜爱。有了这个公式，只要将三角形三边的长一代，马上就可以算出它的面积来。由于在测量三角形土地面积时测量三边的长是最容易的，又不会存在大的争议（如果测量一边上的高往往争议不断），所以这个公式才深得人们的喜欢而广为流传。

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